Il corso ha lo scopo di fornire la preparazione di base nella materia dell'Algebra lineare. In particolare vengono trattate le nozioni di spazio vettoriale, mappa lineare, matrice, determinante, sistema lineare, autovettori e autovalori, matrici diagonalizzabili, matrici reali simmetriche ed hermitiane, ortogonalità, canonizzazione di forme quadratiche, classificazione di coniche e quadriche.
| Lezioni ed esercitazioni |
Ore |
| Argomenti |
Contenuti specifici |
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| PRELIMINARI |
Insiemi, relazioni binarie, relazioni di equivalenza. Strutture algebriche fondamentali. Gruppoidi, semigruppi,
monoidi, gruppi, anelli e campi. Il campo dei numeri complessi. |
4 |
| SPAZI VETTORIALI |
Spazi vettoriali. Lo spazio delle n-uple, lo spazio dei polinomi, lo spazio dei vettori geometrici. Famiglie di vettori linearmente dipendenti e indipendenti e relativi teoremi. Il sottospazio intersezione e il sottospazio somma. Sottospazio generato da un sottoinsieme e teorema di caratterizzazione. Insiemi di generatori e basi. Principali teoremi sugli spazi vettoriali finitamente generati. Teoremi sulla somma diretta di sottospazi |
6 |
| MATRICI |
Definizione di matrice ad elementi su un campo K. Lo spazio vettoriale delle matrici di m righe ed n colonne. Prodotto righe per colonne. Matrici invertibili. Matrici elementari riga. Ricerca dell'inversa mediante la riduzione per righe. La matrice di cambiamento di base, cambiamento di coordinate di un vettore rispetto a basi diverse. Invertibilità delle matrici di cambiamento di coordinate. Matrice associata ad un'applicazione lineare e relative proprietà. |
4 |
| DETERMINANTE |
Determinante di una matrice quadrata. Principali proprietà del determinante. Primo e secondo teorema di Laplace (senza dimostrazione). Teorema: Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se detA è diverso da zero.
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2 |
| SISTEMI LINEARI |
Sistemi lineari di m equazioni in n incognite a coefficienti in un campo K. Teorema di Cramer. Caratteristica o rango di una matrice. Teorema di Kronecker. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari omogenei. Discussione delle soluzioni di un sistema con parametro. Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss-Jordan.. |
6 |
| AUTOVETTORI E DIAGONALIZZAZIONE |
Applicazioni lineari e principali teoremi: il teorema di esistenza e unicità, il teorema delle dimensioni.
Matrice associata ad una applicazione lineare e formule di cambiamento di base per matrici associate.
Autovalori, autovettori, autospazi e polinomio caratteristico di un endomorfismo e di una matrice. Principali teoremi sugli autovalori e autovettori. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili, teoremi fondamentali sulla diagonalizzazione di un endomorfismo. Diagonalizzabilità di una matrice simmetrica. |
10 |
| SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO INTERNO |
Definizione di forma bilineare e di prodotto interno. Spazi vettoriali euclidei. Teorema di Cauchy-Schwarz. Angolo di due vettori di uno spazio euclideo. Insiemi di vettori ortogonali, insiemi di vettori ortonormali. Basi ortonormali. Teorema di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. |
10 |
| APPLICAZIONE ALLA GEOMETRIA |
Vettori geometrici. Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto. Equazioni parametriche di una retta e di un piano. Equazione caratteristica di un piano. Angolo tra due rette. Distanza tra due punti, distanza di un punto da un piano, distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette sghembe. Coniche, coniche degeneri, coniche non degeneri, riduzione a forma canonica. Cenni sulle quadriche. |
8 |
| Totale ore lezioni ed esercitazioni |
50 |
| di cui di esercitazione |
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Ulteriori attività di didattica assistita
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Ore
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| Laboratorio |
0 |
| Seminari e/o testimonianze |
0 |
| Corsi integrativi |
12 |
| Visite guidate |
0 |
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0 |
| Totale ore dedicate ad altre attività di didattica
assistita |
12 |
| Totale ore complessive |
62
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